题目

题型：湖南难度：来源：

已知数列{a_n}的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+…+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+…+a_n+2，n=1，2，…．
（1）若a₁=1，a₂=5，且对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a_n}的通项公式．
（2）证明：数列{a_n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．

答案

（1）∵对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，
∴B（n）-A（n）=C（n）-B（n），
即a_n+1-a₁=a_n+2-a₂，亦即a_n+2-a_n+1=a₂-a₁=4．
故数列{a_n}是首项为1，公差为4的等差数列，于是a_n=1+（n-1）×4=4n-3．
（2）证明：（必要性）：若数列{a_n}是公比为q的等比数列，对任意n∈N^*，有a_n+1=a_nq．由a_n＞0知，A（n），B（n），C（n）均大于0，于是

B(n)

A(n)

=

a2+a3+…+an+1

a1+a2+…+an

=

q(a1+a2+…+an)

a1+a2+…+an

=q，

C(n)

B(n)

=

a3+a4+…+an+2

a2+a3+…+an+1

=

q(a2+a3+…+an+1)

a2+a3+…+an+1

=q，
即

B(n)

A(n)

=

C(n)

B(n)

=q，
∴三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列；
（充分性）：若对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，则
B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），
于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，即a_n+2-a₂=q（a_n+1-a₁），亦即a_n+2-qa_n+1=a₂-qa₁．
由n=1时，B（1）=qA（1），即a₂=qa₁，从而a_n+2-qa_n+1=0．
∵a_n＞0，
∴

an+2

an+1

=

a2

a1

=q．故数列{a_n}是首项为a₁，公比为q的等比数列．
综上所述，数列{a_n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．