题目

题型：不详难度：来源：

已知下列命题：
（1）θ是第二象限角；
（2）sin

θ

2

+cos

θ

2

=-

7

5

；
（3）tan

θ

2

=

4

3

；
（4）tan

θ

2

=

3

4

；
（5）sin

θ

2

-cos

θ

2

=-

1

5

试以其中若干（一个或多个）命题为条件，然后以剩余命题中的若干命题为结论，组成新命题，并证明之．

答案

以（1）（2）为条件，以（3）为结论．
证明：因为θ是第二象限角，
所以kπ+

π

4

＜

θ

2

＜kπ+

π

2

，k∈Z．①
又sin

θ

2

+cos

θ

2

=-

7

5

，
所以2kπ+π＜

θ

2

＜2kπ+

3

2

π，k∈Z．②
由①②可知2kπ+

5

4

π＜

θ

2

＜2kπ+

3

2

π．
又由sin

θ

2

+cos

θ

2

=-

7

5

，得sin

θ

2

•cos

θ

2

=

12

25

，
所以

sin θ 2 •cos θ 2

sin2 θ 2 +cos2 θ 2

=

12

25

．分子分母同除以sin

θ

2

•cos

θ

2

可化得，
所以12tan²

θ

2

-25tan

θ

2

+12=0．
解得tan

θ

2

=

3

4

（舍），或tan

θ

2

=

4

3

．
∴tan

θ

2

=

4

3

．