题目

题型：不详难度：来源：

（理） 设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则下列命题正确的是______．
①若ab＞c²；则C＜

π

3

       
②若a+b＞2c；则C＜

π

3

③若a³+b³=c³；则C＜

π

2

   
④若（a+b）c＜2ab；则C＞

π

2

．

答案

①因为a²+b²≥2ab，所以由余弦定理得cos⁡C=

a2+b2-c2

2ab

≥

2ab-c2

2ab

=1-

c2

2ab

，因为ab＞c²，所以-c²＞-ab，
所以cos⁡C=

a2+b2-c2

2ab

≥

2ab-c2

2ab

=1-

c2

2ab

＞1+

-ab

2ab

=1-

1

2

=

1

2

，即0＜C＜

π

3

，所以①正确．
②a+b＞2c，所以(a+b)2＞4c2，c2＜

(a+b)2

4

，-c2＞-

(a+b)2

4

．所以cos⁡C=

a2+b2-c2

2ab

≥

a2+b2- (a+b)2 4

2ab

=

3(a2+b2)-2ab

8ab

＞

3×2ab-2ab

8ab

=

1

2

，即0＜C＜

π

3

，所以②正确．
③假设C≥

π

2

，则c²≥a²+b²，所以c³≥ca²+cb²＞a³+b³，与a³+b³=c³矛盾，所以假设不成立．即C＜

π

2

成立．所以③正确．
④取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab得C为锐角，所以④错误．
所以命题正确的是①②③．
故答案为：①②③．