题目

题型：不详难度：来源：

若函数f（x）满足：对于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，且f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立，则称函数f（x）为“守法函数”．给出下列四个函数：①y=

x

；②y=log₂（x+1）；③y=2^x-1；④y=cosx；其中“守法函数”的所有函数的序号是______．

答案

①若f（x）=

x

，则对于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，f（x₁）+f（x₂）=

x1

+

x2

，f（x₁+x₂）=

x1+x2

，(

x1

+

x2

)2=x1+x2+2

x1x2

＞x1+x2，所以f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂），所以①不是“守法函数”．
②若f（x）=log₂（x+1），对于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，设x₁=x₂=1，则f（x₁）+f（x₂）=1+1=2，而f（x₁+x₂）=log₂3＜2，所以f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）不成立，所以②不是“守法函数”．
③若f（x）=2^x-1，对于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=2^x₁-1+2^x₂-1-2^x₁+x₂₊1＜0，则③是“守法函数”．④若f（x）=cosx，因为f（x）=cosx∈[-1，1]，所以任意x₁＞0，x₂＞0，f（x₁）＞0，f（x₂）＞0不一定成立，所以④不是“守法函数”．
故答案为：③．