题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为；。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）写出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出数列{y_n}的一个通项公式y_n，并证明你的结论；
（Ⅲ）求。

答案

（Ⅰ）
（Ⅱ）猜想，证明见解析。
（Ⅲ）

解析

（Ⅰ）由框图，知数列  ……2分
∴      ……4分
（Ⅱ）y₁=2，y₂=8，y₃=26，y₄=80.由此，猜想 …2分
证明：由框图，知数列{y_n}中，y_n+1=3y_n+2   ∴
∴                     ……4分
∴数列{y_n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。∴+1=3·3^n－1=3ⁿ
∴=3ⁿ－1（）         ……6分
（Ⅲ）=
=
记S_n=1×3+3×3²+…+（2n－1）·3ⁿ，①
则3S_n=1×3²+3×3³+…+（2n－1）×3ⁿ⁺¹ ②            ……2分
①－②，得－2S_n=3+2·3²+2·3³+…+2·3ⁿ－（2n－1）·3ⁿ⁺¹
=2（3+3²+…+3ⁿ）－3－（2n－1）·3ⁿ⁺¹
=2×=
∴ ……3分
又1+3+…+（2n－1）=n²  ∴.……4分