题目
题型:江苏省期末题难度:来源:
(1)求这次擂主能成功守擂(即战胜三位攻擂者)的概率;
(2)若按甲、乙、丙顺序攻擂,这次擂台赛共进行了x次比赛,求x得数学期望;
(3)假定p3<p2<p1<1,试分析以怎样的先后顺序出场,可使所需出场人员数的均值(数学期望)达到最小,并证明你的结论.
答案
则P(Bi)=pi,
三人攻擂均失败的概率为(1﹣p1)(1﹣p2)(1﹣p3).
所以,擂主守擂成功的概率是P(A)=(1﹣p1)(1﹣p2)(1﹣p3)
(2)比赛场数X=1,2,3.
X=1,比赛一场结束,则第一位业余棋手就获胜,其概率为P(X=1)=p1;
X=2,比赛二场结束,则第一位业余棋手攻擂失败,第二位胜利,其概率是P(X=2)
=(1﹣p1) p2;
X=3,比赛三场结束,则第一,二位业余棋手攻擂失败,其概率为
P(X=3)=(1﹣p1)(1﹣p2),
E(X)=p1+2(1﹣p1) p2+3(1﹣p1)(1﹣p2)=3﹣2p1﹣p2+p1p2.
(3)答按获胜概率从大到小的顺序出场,则所需出场人员数的均值为最小
下面证明以上结论.
设q1,q2,q3是p1,p2,p3的一个排列,如果按q1,q2,q3有顺序出场,
由(2)可得期望 E(X)=3﹣2q1﹣q2+q1q2.
因为△=(3﹣2q1﹣q2+q1q2)﹣(3﹣2p1﹣p2+p1p2)=2(p1﹣q1)+(p2﹣q2)+q1q2﹣p1p2
=2(p1﹣q1)+(p2﹣q2)﹣(p1﹣q1)p2﹣(p2﹣q2)q1=(2﹣p2) (p1﹣q1)+
(p2﹣q2)(1﹣q1)≥(1﹣q1)( p1﹣q1)+(p2﹣q2)(1﹣q1)
=(1﹣q1)[(p1+p2)﹣(q1+q2)]≥0.等号成立当且仅当q1=p1,q2=p2.
所以,按获胜概率从大到小的顺序出场,所需出场人员数的均值为最小.
核心考点
试题【一次围棋擂台赛,由一位职业围棋高手设擂做擂主,甲、乙、丙三位业余围棋高手攻擂.如果某一业余棋手获胜,或者擂主战胜全部业余棋手,则比赛结束.已知甲、乙、丙三人战胜】;主要考察你对离散型随机变量均值与方差等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求3个旅游团选择3条不同的线路的概率;
(2)求选择甲线路旅游团数的分布列和期望.
(Ⅰ)假设该人射击5次,求恰有2次击中目标的概率;
(Ⅱ)假设该人每射击5发子弹为一组,一旦命中就停止,并进入下一组练习,否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习,求:
①在完成连续两组练习后,恰好共使用了4发子弹的概率;
②一组练习中所使用子弹数ξ的分布列,并求ξ的期望.
某城市有甲、乙、丙、丁4个旅游景点,一位客人游览这4个景点的概率都是0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响.设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.
(Ⅰ)求ξ的分布列及数学期望;
(Ⅱ) 记“函数f(x)=x2﹣3ξx+1在区间[4,+∞)上单调递增”为事件A,求事件A的概率.
(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率;
(2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为,求随机变量的期望E().
(1)从A,B,C三个社区中各选一人,求恰好有2人是低碳族的概率;
(2)在B小区中随机选择20户,从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X,求X的分布列和EX.
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