题目

题型：不详难度：来源：

某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为

1

8

的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过

1

2

，且他直到第二次考核才合格的概率为

9

32

．
（1）求小李第一次参加考核就合格的概率P₁；
（2）求小李参加考核的次数ξ的数学期望．

答案

（1）小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为

1

8

的等差数列，
且他直到第二次考核才合格的概率为

9

32

．
得（1-p₁）（p₁+

1

8

）=

9

32

，
解得p₁=

1

4

或p₁=

5

8

．
∵p₁≤

1

2

，∴p₁=

1

4

，
即小李第一次参加考核就合格的概率为

1

4

（2）由（1）的结论知，ξ的可能取值是1，2，3，4
小李四次考核每次合格的概率依次为

1

4

，

3

8

，

1

2

，

5

8

，
∴P（ξ=1）=

1

4

，P（ξ=2）=

9

32

，
P（ξ=3）=（1-

1

4

）（1-

3

8

）

1

2

=

15

64

P（ξ=4）=（1-

1

4

）•（1-

3

8

）•（1-

1

2

）•1=

15

64

∴小李参加测试的次数的数学期望为Eξ=1•

1

4

+2•

9

32

+3•

15

64

+4•

15

64

=

157

64