题目
题型:不详难度:来源:
(1)求这次擂主能成功守擂(即战胜三位攻擂者)的概率;
(2)若按甲、乙、丙顺序攻擂,这次擂台赛共进行了x次比赛,求x得数学期望;
(3)假定p3<p2<p1<1,试分析以怎样的先后顺序出场,可使所需出场人员数的均值(数学期望)达到最小,并证明你的结论.
答案
三人攻擂均失败的概率为(1-p1)(1-p2)(1-p3).
所以,擂主守擂成功的概率是P(A)=(1-p1)(1-p2)(1-p3).…3分
(2)比赛场数X=1,2,3.
X=1,比赛一场结束,则第一位业余棋手就获胜,其概率为P(X=1)=p1;
X=2,比赛二场结束,则第一位业余棋手攻擂失败,第二位胜利,其概率是P(X=2)=(1-p1) p2;
X=3,比赛三场结束,则第一,二位业余棋手攻擂失败,其概率为P(X=3)=(1-p1)(1-p2),
E(X)=p1+2(1-p1) p2+3(1-p1)(1-p2)=3-2p1-p2+p1p2.…6分
(3)答按获胜概率从大到小的顺序出场,则所需出场人员数的均值为最小.…7分
下面证明以上结论.
设q1,q2,q3是p1,p2,p3的一个排列,如果按q1,q2,q3有顺序出场,
由(2)可得期望 E(X)=3-2q1-q2+q1q2.
因为△=(3-2q1-q2+q1q2)-(3-2p1-p2+p1p2)=2(p1-q1)+(p2-q2)+q1q2-p1p2=2(p1-q1)+(p2-q2)-(p1-q1)p2-(p2-q2)q1=(2-p2) (p1-q1)+(p2-q2)(1-q1)≥(1-q1)( p1-q1)+(p2-q2)(1-q1)=(1-q1)[(p1+p2)-(q1+q2)]≥0.
等号成立当且仅当q1=p1,q2=p2.
所以,按获胜概率从大到小的顺序出场,所需出场人员数的均值为最小.…10分
核心考点
试题【一次围棋擂台赛,由一位职业围棋高手设擂做擂主,甲、乙、丙三位业余围棋高手攻擂.如果某一业余棋手获胜,或者擂主战胜全部业余棋手,则比赛结束.已知甲、乙、丙三人战胜】;主要考察你对两个互斥事件的概率加法公式等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求3人都不出事故的概率.
(2)求ξ的分布列及其数学期望和方差.
(Ⅰ)企业E中标的概率是多少?
(Ⅱ)在中标的企业中,至少有一家来自河南省的概率是多少?
(Ⅰ)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
(Ⅱ)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
(Ⅲ)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求ξ的分布列及期望.
A.至多有两只不成对 | B.恰有两只不成对 |
C.4只全部不成对 | D.至少有两只不成对 |
A.恰有两件次品 | B.恰有一件次品 |
C..恰有两件正品 | D.至少两件正品 |
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