题目

题型：上海模拟难度：来源：

设F₁，F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1    (a＞b＞0)的左右焦点，
（1）设椭圆C上的点(

3

，

3

2

)到F₁，F₂两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标
（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF₁的中点B的轨迹方程
（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PM，K_PN试探究k_PM•K_PN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论．

答案

（1）由于点(

3

，

3

2

)在椭圆上，

( 3 )2

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1
2a=4，
椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
焦点坐标分别为（-1，0），（1，0）
（2）设KF₁的中点为B（x，y）则点K（2x+1，2y）
把K的坐标代入椭圆

x2

4

+

y2

3

=1中得

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1
线段KF₁的中点B的轨迹方程为(x+

1

2

)2+

y2

3 4

=1
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称
设M（x₀，y₀）N（-x₀，-y₀），p（x，y）
M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，
得

x02

a2

+

y02

b2

=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1
kPM=

y-y0

x-x0

，KPN=

y+y0

x+x0

k_PM•K_PN=

y-y0

x-x0

•

y+y0

x+x0

=

y2-y02

x2-x02

=-

b2

a2

k_PM•K_PN的值与点P及直线L无关