题目

题型：不详难度：来源：

设动点P（x，y）（x≥0）到定点F(

1

2

，0)的距离比它到y轴的距离大

1

2

，记点P的轨迹为曲线C，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设圆M过A（1，0），且圆心M在P的轨迹上，EF是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时弦长|EF|是否为定值？请说明理由．

答案

（1）依题意，P到F(

1

2

，0)距离比P到y轴的距离大

1

2

，即

(x- 1 2 )2+y2

=x+

1

2

，化简得：y²=2x，
所以曲线C是以原点为顶点，F(

1

2

，0)为焦点的抛物线P=1曲线C方程是y²=2x；
（2）设圆心M（a，b），因为圆M过A（1，0），
故设圆的方程（x-a）²+（y-b）²=（a-1）²+b²令x=0得：y²-2by+2a-1=0，
设圆与y轴的两交点为（0，y₁），（0，y₂），
则y₁+y₂=2b，y₁•y₂=2a-1（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁•y₂=（2b）²-4（2a-1）=4b²-8a+4，
M（a，b）在抛物线y²=2x上，b²=2a（y₁-y₂）²=4|y₁-y₂|=2，
所以，当M运动时，弦长|EF|为定值2．