题目

题型：不详难度：来源：

已知P为曲线E上的任意一点，F₁（-1，0），F₂（1，0），且|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|．
（1）求曲线E的方程；
（2）若点P在第二象限，∠F₂F₁P=120°，求△F₂F₁P的面积．

答案

（1）∵F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4．
因此，曲线E表示以F₁、F₂为焦点，长轴2a=4的椭圆，c=1，b²=a²-c²=3
∴曲线E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）∵△F₂F₁P中，∠F₂F₁P=120°，F₁F₂=2
∴根据余弦定理，得|PF₂|²=|PF₁|²+|F₁F₂|²-2|PF₁||F₁F₂|cos120°，
化简得|PF₁|²-|PF₂|²+2|PF₁|+4=0…①
又∵|PF₁|+|PF₂|=4，得∴②代入①，得|PF₁|=

6

5

根据正弦定理，可得△F₂F₁P的面积S=

1

2

|PF₁||F₁F₂|sin120°=

3

5

3

．