已知椭圆的焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），直线x=4是它的一条准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A1、A2分别是椭圆的左顶点和右顶点，P是椭圆上满足|PA1|-|PA2|=2的一点，求tan∠A1PA2的值；
（3）若过点（1，0）的直线与以原点为顶点、A2为焦点的抛物线相交于点M、N，求MN中点Q的轨迹方程． |
（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）．
由题设有c=1，=4，
∴a2=4
∴b2=a2-c2=3．
所求椭圆方程为+=1．
（2）由题设知，点P在以A1、A2为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上．
由（1）知A1（-2，0），A2（2，0），
设双曲线方程为-=1（m＞0，n＞0）．
则2m=2，m2+n2=4，
解得m=1，n=．
∴双曲线方程为x2-=1．
由+=1，x2-=1，
解得P点的坐标为（，）或（，-）．
当P点坐标为（，）时，tan∠A1PA2==-4．
同理当P点坐标为（，-）时，
tan∠A1PA2=-4．
故tan∠A1PA2=-4．
（3）由题设知，抛物线方程为y2=8x．
设M（x1，y1）、N（x2，y2），MN的中点Q（x，y），
当x1≠x2时，有
y12=8x1，①
y22=8x2，②
x=，③
y=，④=．⑤
①-②，得（y1+y2）=8，
将④⑤代入上式，有•2y=8，
即y2=4（x-1）（x≠1）．
当x1=x2时，MN的中点为（1，0），仍满足上式．
故所求点Q的轨迹方程为y2=4（x-1）． |
核心考点
试题【已知椭圆的焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），直线x=4是它的一条准线．（1）求椭圆的方程；（2）设A1、A2分别是椭圆的左顶点和右顶点，P是椭圆上满足|P】；主要考察你对
求轨迹方程等知识点的理解。
[详细]举一反三
已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点，满足|AB|=2，点P在线段AB上且=2，设点P的轨迹方程为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若点M、N是曲线C上关于原点对称的两个动点，点Q的坐标为(，3)，求△QMN的面积S的最大值． |
过抛物线y2=4x的焦点作直线与其交于M、N两点，作平行四边形MONP，则P点的轨迹方程为（ ）| A．y2=4（x-2） | B．y2=-4（x+2） | C．y2=4（x+2） | D．y2=x-1 | （文）（1）已知动点P（x，y）到点F（0，1）与到直线y=-1的距离相等，求点P的轨迹L的方程；
（2）若正方形ABCD的三个顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜0≤x2＜x3）在（1）中的曲线L上，设BC的斜率为k，l=|BC|，求l关于k的函数解析式l=f（k）；
（3）由（2），求当k=2时正方形ABCD的顶点D的坐标． | 已知F1，F2分别为椭圆+=1的左、右焦点，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1，垂足为D，线段DF2的垂直平分线交l2于点M．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F1作直线交曲线C于两个不同的点P和Q，设=λ，若λ∈[2，3]，求的取值范围． | 已知△AOB的顶点A在射线l1：y=x(x＞0)上，A，B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足|AM|•|MB|=3．当点A在l1上移动时，记点M的轨迹为W．
（Ⅰ）求轨迹W的方程；
（Ⅱ）设N（2，0），过N的直线l与W相交于P、Q两点．求证：不存在直线l，使得•=1． |
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