题目

题型：期末题难度：来源：

已知曲线C：x²+y²﹣4ax+2ay﹣20+20a=0．
（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过一定点；
（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；
（3）若曲线C与x轴相切，求a的值．

答案

（1）证明：曲线C的方程可变形为（x²+y²﹣20）+（﹣4x+2y+20）a=0．
由，
解得
∴点（4，﹣2）满足C的方程，
故曲线C过定点（4，﹣2）．
（2）证明：原方程配方得（x﹣2a）²+（y+a）²=5（a﹣2）²，
∵a≠2，
∴5（a﹣2）²＞0
∴C的方程表示圆心是（2a，﹣a），半径是|a﹣2|的圆
设圆心坐标为（x，y），则有，
消去a可得y=﹣x，
故圆心必在直线y=﹣x上．
（3）解：由题意得5|a﹣2|=|a|，解得a=．