题目
题型:不详难度:来源:
OA |
OB |
OC |
(1)求点M的轨迹方程;
(2)求四边形AOBC的面积的最小值.
答案
(1)设M(x,y),A(
y | 21 |
y | 22 |
∵
OA |
OB |
OC |
∴M是线段AB的中点.
∴x=
| ||||
2 |
(y1+y2)2-2y1y2 |
2 |
y1+y2 |
2 |
∵OA⊥OB,∴
OA |
OB |
∴
y | 21 |
y | 22 |
依题意知y1y2≠0,
∴y1y2=-1.③
把②、③代入①得:x=
4y2+2 |
2 |
1 |
2 |
∴点M的轨迹方程为y2=
1 |
2 |
(2)依题意得四边形AOBC是矩形,
∴四边形AOBC的面积为S=|
OA |
OB |
(
|
(
|
(
|
|
2+
|
∵
y | 21 |
y | 22 |
∴S≥
2+2 |
∴四边形AOBC的面积的最小值为2.
解法二:
(1)依题意,知直线OA,OB的斜率存在,设直线OA的斜率为k,
由于OA⊥OB,则直线OB的斜率为-
1 |
k |
故直线OA的方程为y=kx,直线OB的方程为y=-
1 |
k |
由
|
解得x=0或x=
1 |
k2 |
∴点A的坐标为(
1 |
k2 |
1 |
k |
同理得点B的坐标为(k2,-k).
∵
OA |
OB |
OC |
∴M是线段AB的中点.
设点M的坐标为(x,y),则
|
1 |
2 |
∴点M的轨迹方程为y2=
1 |
2 |
(2)依题意得四边形AOBC是矩形,
∴四边形AOBC的面积为S=|
OA |
OB |
(
|
(k2)2+(-k)2 |
2+k2+
|
2+2
|
当且仅当k2=
1 |
k2 |
∴四边形AOBC的面积的最小值为2.
核心考点
试题【如图,已知抛物线P:y2=x,直线AB与抛物线P交于A,B两点,OA⊥OB,OA+OB=OC,OC与AB交于点M.(1)求点M的轨迹方程;(2)求四边形AOBC】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
15 |
6 |
OF |
FQ |
(1)设
6 |
6 |
OF |
FQ |
(2)设以O为中心,F为焦点的双曲线经过点Q(如图),|
OF |
| ||
4 |
OQ |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
2 |
6 |
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在圆心在原点的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且
OA |
OB |
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