题目
题型:深圳二模难度:来源:
5 |
6 |
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存在直线l,使得在椭圆C的右准线上可以找到一点P,满足△ABP为正三角形.如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,请说明理由.
答案
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∵当l垂直于x轴时,A,B两点坐标分别是(1,
b2 |
a |
b2 |
a |
∴
OA |
OB |
b2 |
a |
b2 |
a |
b4 |
a2 |
b4 |
a2 |
5 |
6 |
由①,②消去a,得6b4-b2-1=0.∴b2=
1 |
2 |
1 |
3 |
当b2=
1 |
2 |
3 |
2 |
2x2 |
3 |
(Ⅱ)设存在满足条件的直线l.
(1)当直线l垂直于x轴时,由(Ⅰ)的解答可知|AB|=
2b2 |
a |
| ||
3 |
a2 |
c |
1 |
2 |
此时不满足d=
| ||
2 |
因此,当直线l垂直于x轴时不满足条件.
(2)当直线l不垂直于x轴时,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-1).
由
|
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则x1+x2=
6k2 |
3k2+1 |
6k2-3 |
6k2+2 |
|AB|=
1+k2 |
(1+k2)[(x1+x2) 2-4x1x2] |
(1+k2)[(
|
| ||
3k2+1 |
又设AB的中点为M,则xM=
x1+x2 |
2 |
3k2 |
3k2+1 |
当△ABP为正三角形时,直线MP的斜率为kMP=-
1 |
k |
∵xp=
3 |
2 |
1+
|
1+
|
3 |
2 |
3k2 |
3k2+1 |
|
3(k2+1) |
2(3k2+1) |
当△ABP为正三角形时,|MP|=
| ||
2 |
|
3(k2+1) |
2(3k2+1) |
| ||
2 |
| ||
3k2+1 |
解得k2=1,k=±1.
因此,满足条件的直线l存在,且直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
核心考点
试题【已知椭圆C的中心为原点,点F(1,0)是它的一个焦点,直线l过点F与椭圆C交于A,B两点,且当直线l垂直于x轴时,OA•OB=56.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
p |
2 |
p |
2 |
QP |
QF |
FP |
FQ |
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)当p=2时,曲线C上存在不同的两点关于直线y=kx+3对称,求实数k满足的条件(写出关系式即可);
(3)设动点M (a,0),过M且斜率为1的直线与轨迹C交于不同的两点A,B,线段AB的中垂线与x轴交于点N,当|AB|≤2p时,求△NAB面积的最大值.
x2 |
a2 |
BC |
AC |
A.
| B.
| C.
| D.
|
(Ⅰ)证明:a2>
3k2 |
1+3k2 |
(Ⅱ)若
AC |
CB |
AF |
FB |
A.1 | B.2 | C.
| D.
|
(1)若N(x0,y0)在椭圆C上,判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系(当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时,分别称直线与椭圆相离、相切、相交),并说明理由;
(2)命题:“若点N(x0,y0)在椭圆C的外部,则直线l与椭圆C必相交.”写出这个命题的逆命题,判断此逆命题的真假,说明理由;
(3)若N(x0,y0)在椭圆C的内部,过N点任意作一条直线,交椭圆C于A、B,交l于M点(异于A、B),设
MA |
AN |
MB |
BN |
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