设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．
（1）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；
（2）求以线段CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程． |
（1）依题意，显然直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为 y=k（x-1）+3，
代入 椭圆3x2+y2=λ，整理得 （k2+3 ） x2-2k（k-3）x+（k-3）2-λ=0 ①
设 A （ x1，y1 ），B （x2，y2 ），则 x1，x2 是方程①的两个不同的根，
∴△=4k2 （k-3）2-4 （k2+3 ）[（k-3）2-λ]＞0 ②，且 x1+x2=．
由N（1，3）是线段AB的中点，得 =1，∴k（k-3）=k2+3，∴k=-1．
代和②得 λ＞12，即 λ 的取值范围是（12，+∞），于是直线AB的方程为 y-3=-（x-1），
即 x+y-4=0．
（2）∵CD垂直平分线段AB，∴直线CD的方程为 y-3=x-1，即 x-y+2=0，
代入椭圆方程，整理得 4x2+4x+4-λ=0 ③．
设 C（x3，y3 ），D （x4，y4 ），CD的中点为 M（x0，y0 ），则 x3，x4 是方程③的两根，
∴x3+x4=-1，∴x0==-，y0=x0+1=，即 M（-， ）．
又 M（-， ）到直线AB的距离 d==，
故所求圆的方程为 (x+)2+(y-)2=． |
核心考点
试题【设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．（1）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；】；主要考察你对
曲线与方程的应用等知识点的理解。
[详细]举一反三
| 直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有且只有一个公共点，则k的取值是（ ） |
| 直线x+2y-2=0经过椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于______． |
| 已知双曲线的渐近线方程为y=±2x，且与椭圆+=1有相同的焦点，则其焦点坐标为______，双曲线的方程是______． |
| 过椭圆+=1内一点P（1，1）作弦AB，若=，则直线AB的方程为______． |
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4．
（I）求抛物线的方程；
（II）若斜率为-的直线l与抛物线C交于A，B两点，且点M在直线l的右上方，求证：△MAB的内心在直线x=3上；
（III）在（II）中，若∠AMB=60°，求△MAB的内切圆半径长． |
