过点（0，4），斜率为-1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A、B，且弦|AB|的长度为410．（1）求p的值；（2）求证：OA⊥OB（O为原点）． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

过点（0，4），斜率为-1的直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A、B，且弦|AB|的长度为4

．
（1）求p的值；
（2）求证：OA⊥OB（O为原点）．

答案

（1）直线方程为y=-x+4，联立方程

y=-x+4

y2=2px

消去y得，x²-2（p+4）x+16=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得x₁+x₂=2（p+4），x₁x₂=16，△=4（p+2）²-64＞0．
所以|AB|=

1+1

|x₁-x₂|=

•

4(P+4)2-4×16

，所以p=2．
（2）证明：由（1）知，x₁+x₂=2（p+4）=12，x₁x₂=16，
∴y₁y₂=（-x₁+4）（-x₂+4）=-8p=-16
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴OA⊥OB．

核心考点

试题【过点（0，4），斜率为-1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A、B，且弦|AB|的长度为410．（1）求p的值；（2）求证：OA⊥OB（O为原点）．】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

椭圆

=1中过P（1，1）的弦恰好被P点平分，则此弦所在直线的方程是______．

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已知直线l过点P（2，1）与双曲线x²-

=1相交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的方程为______．

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若抛物线y=ax²-1恒有关于直线x+y=0对称的相异两点A，B，则a的取值范围是______．

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已知点M是圆C：x²+y²=2上的一点，且MH⊥x轴，H为垂足，点N满足NH=

MH，记动点N的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的最大值．

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已知抛物线D的顶点是椭圆Q：

=1的中心O，焦点与椭圆Q的右焦点重合，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁x₂≠0）是抛物线D上的两个动点，且|

|=|

|（Ⅰ）求抛物线D的方程及y₁y₂的值；
（Ⅱ）求线段AB中点轨迹E的方程；
（Ⅲ）求直线y=

x与曲线E的最近距离．

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