题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：

x2

3

+

y2

2

=1与直线l：mx-y-m=0
（1）求证：对于m∈R，直线l与椭圆C总有两个不同的交点；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，若|AB|=

16

11

3

，求直线l的倾斜角．

答案

（1）证明：1、当m=0，直线方程y=1，与圆有两个交点，符合题意
2、当m≠0，将椭圆C：

x2

3

+

y2

2

=1与直线l：mx-y-m=0联立得
（3m²+2）x²-6m²x+3m²-6=0
△=（6m²）²-4（3m²+2）×（3m²-6）=48m²+48＞0，符合题意
∴对于m∈R，直线l与椭圆C总有两个不同的交点
（2）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

6m2

3m2+2

x₁•x₂=

3m2-6

3m2+2

|AB|=

1+k2

|x1-x2|
=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=

1+m2

•

36m4 (3m2+2)2 - 12m2-24 3m2+2

=

16 3

11

解得m=±

3

∴l的倾斜角为

π

3

或

2π

3