设M,N为抛物线C:y=x2上的两个动点,过M,N分别作抛物线C的切线l1,l2,与x轴分别交于A,B两点,且l1∩l2=P,若|AB|=1, (1)若|AB|=1,求点P的轨迹方程 (2)当A,B所在直线满足什么条件时,P的轨迹为一条直线?(请千万不要证明你的结论) (3)在满足(1)的条件下,求证:△MNP的面积为一个定值,并求出这个定值. |
(1)设P(x,y),M(x1,x12),N(x2,x22),切线的斜率 k=2x. ∴l1 的方程为 y-x12=2x1(x-x1),即 y=2x1x-x12 ①, 同理,l2 的方程为 y=2x2 x-x22 ②,令 y=0 可求出 A(,0),B(,0). ∵|AB|=1,所以,|x1-x2|=2,∴|x1+x2|2-4x1x2 =4, 由①,②,得 x=,y=x1x2,故点P(,x1x2). ∴y=x2-1, (2)当 A,B 所在直线过 C:y=x2 的焦点. (3)设 MN:y=kx+b 又由 y=x2 得 x2-kx-b=0,所以,x1+x2=k,x1x2=-b, ∴P到MN的距离为 d==,MN=|x1-x2|, ∴S=MN•d=(|x1+x2|2 -4x1x2|)•|x1-x2|=2,为定值. |
核心考点
试题【设M,N为抛物线C:y=x2上的两个动点,过M,N分别作抛物线C的切线l1,l2,与x轴分别交于A,B两点,且l1∩l2=P,若|AB|=1,(1)若|AB|=】;主要考察你对
曲线与方程的应用等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线y2=8ax的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( ) |
双曲线C和椭圆4x2+y2=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=x,则双曲线C的方程为( )A.4x2-2y2=1 | B.2x2-y2=1 | C.4x2-2y2=-1 | D.2x2-y2=-1 |
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抛物线的顶点在坐标原点,焦点是双曲线x2-2y2=8的一个焦点,则此抛物线的焦点到其准线的距离等于是______. |
已知点M(-5,0),F(1,0),点K满足=2,P是平面内一动点,且满足||•||=•. (1)求P点的轨迹C的方程; (2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与曲线C相交于点A,B,l2与曲线C相交于点D,E,求四边形ADBE的面积的最小值. |
设椭圆T:+=1(a>b>0),直线l过椭圆左焦点F1且不与x轴重合,l与椭圆交于P、Q,当l与x轴垂直时,|PQ|=,F2为椭圆的右焦点,M为椭圆T上任意一点,若△F1MF2面积的最大值为. (1)求椭圆T的方程; (2)直线l绕着F1旋转,与圆O:x2+y2=5交于A、B两点,若|AB|∈(4,)),求△F2PQ的面积S的取值范围. |