已知点M（-5，0）、C（1，0），B分MC所成的比为2．P是平面上一动点，且满足|PC|•|BC|=PB•CB．（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）已知点A - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：重庆模拟难度：来源：

已知点M（-5，0）、C（1，0），B分

所成的比为2．P是平面上一动点，且满足|

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•

．
（1）求点P的轨迹C对应的方程；
（2）已知点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD、AE，且AD、AE的斜率k₁、k₂满足k₁k₂=2．试推断：动直线DE有何变化规律，证明你的结论．

答案

（1）因为点M（-5，0）、C（1，0），B分

所成的比为2，
所以xB=

xM+2xC

1+2

-5+2

1+2

=-1，yB=0．
设P（x，y）代入|

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•

，得

(x-1)2+y2

=1+x．
化简得y²=4x．
（2）将A（m，2）代入y²=4x，得m=1，即A（1，2）．
∵k₁k₂=2，∴D、E两点不可能关于x轴对称，∴DE的斜率必存在．
设直线DE的方程为y=kx+b，D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）
由

y=kx+b

y2=4x

得k²x²+2（kb-2）x+b²=0．
∵k₁•k₂=2，∴

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=2 (x1、x2≠1)．
且y₁=kx₁+b、y₂=kx₂+b．
∴（k²-2）x₁x₂+（kb-2k+2）（x₁+x₂）+（b-2）²-2=0．
将x1+x2=

-2(kb-2)

，x1x2=

代入化简得b²=（k-2）²，∴b=±（k-2）．
（i）将b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k（x+1）-2，过定点（-1，-2）．
（ii）将b=2-k入y=kx+b得y=kx+2-k=k（x-1）+2．
过定点（1，2）．即为A点，不合题意，舍去．
∴直线DE恒过定点（-1，-2）．

核心考点

试题【已知点M（-5，0）、C（1，0），B分MC所成的比为2．P是平面上一动点，且满足|PC|•|BC|=PB•CB．（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）已知点A】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

在平面直角坐标系中，若直线ax-y+1=0经过抛物线y²=4x的焦点，则实数a=______．

题型：河东区一模难度：| 查看答案

已知椭圆

=1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2=4

x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使

•

恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

题型：泰安一模难度：| 查看答案

已知椭圆

=1(a＞b＞0)的中心、上顶点、右焦点构成面积为1的等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A、B分别是椭圆的左、右顶点，点M满足MB⊥AB，连接AM，交椭圆于P点，试问：在x轴上是否存在异于点A的定点C，使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点，若存在，求出C点的坐标；若不存在，说明理由．

题型：武昌区模拟难度：| 查看答案

已知抛物线C的顶点为坐标原点，椭圆C′的对称轴是坐标轴，抛物线C在x轴上的焦点恰好是椭圆C′的焦点
（Ⅰ）若抛物线C和椭圆C′都经过点M（1，2），求抛物线C和椭圆C′的方程；
（Ⅱ）已知动直线l过点p（3，0），交抛物线C于A，B两点，直线l′：x=2被以AP为直径的圆截得的弦长为定值，求抛物线C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，分别过A，B的抛物线C的两条切线的交点E的轨迹为D，直线AB与轨迹D交于点F，求|EF|的最小值．

题型：不详难度：| 查看答案

（理）设椭圆

m+1

+y2=1的两个焦点是F₁（-c，0）、F₂（c，0）（c＞0），且椭圆上存在点M，使

MF1

•

MF2

=0．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若直线l：y=x+2与椭圆存在一个公共点E，使得|EF₁|+|EF₂|取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程；
（3）是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，与条件（Ⅱ）下的椭圆交于A、B两点，使得经过AB的中点Q及N（0，-1）的直线NQ满足

•

=0？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

题型：黄冈模拟难度：| 查看答案

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