题目

题型：不详难度：来源：

已知定点F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），动点R在曲线C上运动且保持|RF₁|+|RF₂|的值不变，曲线C过点T（0，1），
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）M是曲线C上一点，过点M作斜率分别为k₁和k₂的直线MA，MB交曲线C于A、B两点，若A、B关于原点对称，求k₁•k₂的值；
（Ⅲ）直线l过点F₂，且与曲线C交于PQ，有如下命题p：“当直线l垂直于x轴时，△F₁PQ的面积取得最大值”．判断命题p的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请说明理由．

答案

（Ⅰ）∵|RF₁|+|RF₂|=|TF1|+|TF2|=2

( 3 )2+1

=4＞|F1F2|=2

3

，
∴曲线C为以原点为中心，F₁、F₂为焦点的椭圆，
设其半长轴为a，半短轴为b，半焦距为c，则2a=2，2c=2

3

，
∴a=2，c=

3

，b²=a²-c²=1．
∴曲线C的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）设M（x₀，y₀），A（x₁，y₁）则B（-x₁，-y₁），
∵点M，A在椭圆

x2

4

+y2=1上，
∴

x02

4

+y02=1，

x12

4

+y12=1，
相减得

x02-x12

4

+y02-y12=0，
又k1=

y0-y1

x0-x1

，k2=

y0+y1

x0+x1

，
∴k1•k2=

y02-y12

x02-x12

=-

1

4

；
（Ⅲ）设直线l的方程为x=my+

3

，代入椭圆方程

x2

4

+y2=1，
得(4+m2)y2+2

3

my-1=0，计算并判断得△＞0，
设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），得

y3+y4=- 2 3 m 4+m2 y3y4=- 1 4+m2

，
∴|PQ|=

(x3-x4)2+(y3-y4)2

=

(1+m2)[(y3+y4)2-4y3y4]

=

4(1+m2)

4+m2

．
F₁到直线l的距离d=

2 3

1+m2

，
设t=

1+m2

，则t≥1，
∴S△F1PQ=

1

2

|PQ|•d=4

3

×

1+m2

4+m2

=

4 3 t

t2+3

=

4 3

t+ 3 t

≤2．
当t²=3，即m²=2，m=±

2

时，△F₁PQ的面积最大．
∴原命题是假命题，△F₁PQ的面积取得最大值时，直线l的方程为：
x+

2

y-

3

=0和x-

2

y-

3

=0．