在平面直角坐标系中，N为圆C：（x+1）2+y2=16上的一动点，点D（1，0），点M是DN的中点，点P在线段CN上，且MP•DN=0．（Ⅰ）求动点P表示的曲线 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标系中，N为圆C：（x+1）²+y²=16上的一动点，点D（1，0），点M是DN的中点，点P在线段CN上，且

•

=0．
（Ⅰ）求动点P表示的曲线E的方程；
（Ⅱ）若曲线E与x轴的交点为A，B，当动点P与A，B不重合时，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值．

答案

（Ⅰ）由点M是DN的中点，

•

=0，可知PM垂直平分DN．
所以|PN|=|PD|，
又|PC|+|PN|=|CN|，所以|PC|+|PD|=4．
由椭圆定义知，点P的轨迹是以C，D为焦点的椭圆．----------------------（4分）
设椭圆方程为

=1(a＞b＞0)．
又2a=4，2c=2，可得a²=4，b²=3．
所以动点P表示的曲线E的方程为

=1．----------------------（6分）
（Ⅱ）证明：易知A（-2，0），B（2，0）．
设P（x₀，y₀）（y₀≠0），则

=1，即

=3(1-

)，
则k1=

x0+2

，k2=

x0-2

，----------------------（8分）
即k1•k2=

-4

3(1-

)

-4

(

-4)

-4

，
∴k₁•k₂为定值-

．-----------------------------------12

核心考点

试题【在平面直角坐标系中，N为圆C：（x+1）2+y2=16上的一动点，点D（1，0），点M是DN的中点，点P在线段CN上，且MP•DN=0．（Ⅰ）求动点P表示的曲线】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，已知椭圆

（a＞b＞0）的离心率e=

，短轴长为2．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

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已知抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点A（m，4）到其焦点F的距离为

．
（1）求P与m的值；
（2）若直线l过焦点F交抛物线于P，Q两点，且|PQ|=5，求直线l的方程．

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已知椭圆C₁：

=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A、B两点．
（1）若椭圆的半焦距c=

，直线x=±a与y=±b围成的矩形ABCD的面积为8，求椭圆的方程；
（2）若O（

•

=0为坐标原点），求证：

=2；
（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率e满足

≤e≤

，求椭圆长轴长的取值范围．

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已知直线与椭圆

=1交于A，B两点，设线段AB的中点为P，若直线的斜率为k₁，直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂等于______．

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已知：椭圆

=1（a＞b＞0），过点A（-a，0），B（0，b）的直线倾斜角为

，原点到该直线的距离为

．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率大于零的直线过D（-1，0）与椭圆交于E，F两点，若

，求直线EF的方程；
（3）是否存在实数k，直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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