如图，已知椭圆x2a2+y2b2（a＞b＞0）的离心率e=63，短轴长为2．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知椭圆

（a＞b＞0）的离心率e=

，短轴长为2．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

答案

（1）∵椭圆

（a＞b＞0）的离心率e=

，短轴长为2，
∴

a2-b2

b=1

，
∴a=

，b=1，
椭圆方程为

+y2=1．
（2）假若存在这样的k值，由

y=kx+2

x2+3y2-3=0

得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0①
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），则

x1+x2=-

12k

1+3k2

x1•x2=

1+3k2

②
若以CD为直径的圆过E点，则

•

=0，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
而y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
代入上式得，化为（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0．
把（**）代入上式得

9k2

1+3k2

12k(2k+1)

1+3k2

+5=0
解得k=

，满足k²＞1．
∴存在k=

，使得以线段CD为直径的圆过E点．

核心考点

试题【如图，已知椭圆x2a2+y2b2（a＞b＞0）的离心率e=63，短轴长为2．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点A（m，4）到其焦点F的距离为

．
（1）求P与m的值；
（2）若直线l过焦点F交抛物线于P，Q两点，且|PQ|=5，求直线l的方程．

题型：不详难度：| 查看答案

已知椭圆C₁：

=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A、B两点．
（1）若椭圆的半焦距c=

，直线x=±a与y=±b围成的矩形ABCD的面积为8，求椭圆的方程；
（2）若O（

•

=0为坐标原点），求证：

=2；
（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率e满足

≤e≤

，求椭圆长轴长的取值范围．

题型：不详难度：| 查看答案

已知直线与椭圆

=1交于A，B两点，设线段AB的中点为P，若直线的斜率为k₁，直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂等于______．

题型：不详难度：| 查看答案

已知：椭圆

=1（a＞b＞0），过点A（-a，0），B（0，b）的直线倾斜角为

，原点到该直线的距离为

．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率大于零的直线过D（-1，0）与椭圆交于E，F两点，若

，求直线EF的方程；
（3）是否存在实数k，直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

题型：不详难度：| 查看答案

已知椭圆C₁的方程为

+y²=1，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点．
（Ⅰ）求双曲线C₂的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+

与椭圆C₁及双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两个交点A和B满足

•

＜6（其中O为原点），求k的取值范围．

题型：不详难度：| 查看答案

最新试题

热门考点