已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点M（0，b），△MF1F2为正三角形且周长为6，直线l：x=my+4与椭 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F₁、F₂，上顶点M（0，b），△MF₁F₂为正三角形且周长为6，直线l：x=my+4与椭圆C相交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求

•

的取值范围．

答案

（Ⅰ）∵上顶点M（0，b），△MF₁F₂为正三角形且周长为6，
∴a=2，c=1，b=

，
∴椭圆的方程为

=1；
（Ⅱ）直线l：x=my+4代入椭圆方程，得（3m²+4）y²+24my+36=0，
由△=（24m）²-4×36×（3m²+4）＞0
可得m²＞4．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=-

24m

3m2+4

，y₁y₂=

3m2+4

∴

•

=x₁x₂+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+4m（y₁+y₂）+16=-4+

116

3m2+4

，
∵m²＞4，
∴3m²+4＞16，
∴

•

∈（-4，

）．

核心考点

试题【已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点M（0，b），△MF1F2为正三角形且周长为6，直线l：x=my+4与椭】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

设双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，其一个顶点的坐标是(

，0)；又直线l：y=kx+1与双曲线C相交于不同的A、B两点．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆过坐标的原点？若存在，求出k的值；若不存在，写出理由．

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已知三角形△ABC的两顶点为B（-2，0），C（2，0），它的周长为10，求顶点A轨迹方程．

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如图，已知椭圆C：x2+

=1(a＞1)的离心率为e，点F为其下焦点，点O为坐标原点，过F的直线l：y=mx-c（其中c=

a2-1

）与椭圆C相交于P，Q两点，且满足：

•

a2(c2-m2)-1

2-c2

．
（Ⅰ）试用a表示m²；
（Ⅱ）求e的最大值；
（Ⅲ）若e∈(

，

)，求m的取值范围．

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已知椭圆C：3x²+y²=12，直线x-y-2=0交椭圆C于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的焦点坐标及长轴长；
（Ⅱ）求以线段AB为直径的圆的方程．

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已知椭圆M：

=1(a＞b＞0)经过如下五个点中的三个点：P1(-1，-

)，P₂（0，1），P3(

，

)，P4(1，

)，P₅（1，1）．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设点A为椭圆M的左顶点，B，C为椭圆M上不同于点A的两点，若原点在△ABC的外部，且△ABC为直角三角形，求△ABC面积的最大值．

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