题目
题型:不详难度:来源:
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(Ⅰ)求双曲线C的标准方程;
(Ⅱ)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆过坐标的原点?若存在,求出k的值;若不存在,写出理由.
答案
离心率为2,其一个顶点的坐标是(
1 | ||
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∴设双曲线方程为
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∴
|
| ||
3 |
2
| ||
3 |
b2=(
2
| ||
3 |
| ||
3 |
∴双曲线C的标准方程为3x2-y2=1.
(Ⅱ)假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆过坐标的原点.
将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程3x2-y2=1后,
整理得(k2-3)x2+2kx+2=0,…①
依题意,直线l与双曲线C交于不同两点,
∴
|
解得k的取值范围是-
6 |
6 |
设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则由①式得
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y1y2=(kx1+1)(kx2+1)
=k2x1x2+k(x1+x2)+1,
假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点(0,0),
则由FA⊥FB得:x1x2+y1y2=0,…③
把②式代入③式得:(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=0
∴(1+k2)•
2 |
k2-3 |
2k2 |
3-k2 |
解得k=-1,或k=1,
∴1和-1都在(-
6 |
6 |
∴存在实数k=±1,使得以AB为直径的圆经过坐标原点.
核心考点
试题【设双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为2,其一个顶点的坐标是(13,0);又直线l:y=kx+1与双曲线C相交于不同的A、B两点.(Ⅰ)求双曲线C的标准】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
y2 |
a2 |
a2-1 |
OP |
OQ |
a2(c2-m2)-1 |
2-c2 |
(Ⅰ)试用a表示m2;
(Ⅱ)求e的最大值;
(Ⅲ)若e∈(
1 |
3 |
1 |
2 |
(Ⅰ)求椭圆C的焦点坐标及长轴长;
(Ⅱ)求以线段AB为直径的圆的方程.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
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2 |
1 |
2 |
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2 |
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2 |
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)设点A为椭圆M的左顶点,B,C为椭圆M上不同于点A的两点,若原点在△ABC的外部,且△ABC为直角三角形,求△ABC面积的最大值.
1 |
4 |
(1)求曲线E的方程;
(2)设曲线E与y轴负半轴的交点为D,过点D作两条互相垂直的直线l1,l2,这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M,N.设l1的斜率为k(k≠0),△DMN的面积为S,试求
S |
|k| |
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