题目

题型：不详难度：来源：

椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=

2 3

，过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：

CA

=λ

BC

（λ≥2）．
（1）若λ为常数，试用直线l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积；
（2）若λ为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；
（3）若λ变化，且λ=k²+1，试问：实数λ和直线l的斜率k（k∈R）分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．

答案

设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由e=

c

a

=

2 3

及a²=b²+c²得a²=3b²，
故椭圆方程为x²+3y²=3b²①
（1）∵直线L：y=k（x+1）交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
并且

CA

=λ

BC

（λ≥2）
∴（x₁+1，y₁）=λ（-1-x₂，-y₂），
即

x1+1=-λ(x2+1) y1=-λy2

②
把y=k（x+1）代入椭圆方程，
得：（3k²+1）x²+6k²x+3k²-3b²=0，且△=k²（3b²-1）+b²＞0，
∴x1+x2=-

6k2

3k2+1

③x1x2=

3k2-3b2

3k2+1

④
∴S△OAB=

1

2

1+k2

|x1-x2|

|k|

1+k2

=

1

2

|k||x1-x2|=

|λ+1|

2

|k||x2+1|
联立②、③得：x2+1=

2

(1-λ)(3k2+1)

∴S△OAB=

λ+1

λ-1

•

|k|

3k2+1

(k≠0)
（2）S△OAB=

λ+1

λ-1

•

|k|

3k2+1

=

λ+1

λ-1

•

1

3|k|+ 1 |k|

≤

λ+1

λ-1

•

1

2 3

(λ≥2)
当且仅当3|k|=

1

|k|

即k=±

3

3

时，S_△OAB取得最大值．
此时x₁+x₂=-1，
又∵x₁+1=-λ（x₂+1），
∴x1=

1

λ-1

，x2=

-λ

λ-1

，代入④得：3b2=

λ2+1

(λ-1)2

故此时椭圆的方程为x2+3y2=

λ2+1

(λ-1)2

(λ≥2)
（3）由②．③联立得：x1=

-2λ

(1-λ)(3k2+1)

-1，x2=

2

(1-λ)(3k2+1)

-1，将x₁．x₂代入④得：3b2=

4λ

(λ-1)2(3k2+1)

+1，
由k²=λ-1
得：3b2=

4λ

(λ-1)2(3λ-2)

+1=

4

3

[

1

(λ-1)2

+

2

(λ-1)2(3λ-2)

]+1
易知：当λ≥2时，3b²是λ的减函数，
故当λ=2时，（3b²）_max=3．
故当λ=2，
k=±1时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x²+3y²=3．