椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=43，|PF2|=143．（Ⅰ）求椭圆C的方 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

椭圆C：

=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=

，|PF₂|=

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过点M（-2，1），交椭圆C于A，B两点，且M恰是A，B中点，求直线l的方程．

答案

（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF₁|+|PF₂|=6，a=3．
在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=

|PF2|2-|PF1|2

，故椭圆的半焦距c=

，从而b²=a²-c²=4，
所以椭圆C的方程为

=1．（6分）
（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．若直线l斜率不存在，显然不合题意．
从而可设过点（-2，1）的直线l的方程为y=k（x+2）+1，
代入椭圆C的方程得（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0．
因为A，B关于点M对称，所以

x1+x2

18k2+9k

4+9k2

=-2，解得k=

，
所以直线l的方程为y=

(x+2)+1，即8x-9y+25=0．
经检验，△＞0，所以所求直线方程符合题意．（14分）

核心考点

试题【椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=43，|PF2|=143．（Ⅰ）求椭圆C的方】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，圆O与离心率为

的椭圆T：

=1（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．
（1）求椭圆T与圆O的方程；
（2）过点M引两条互相垂直的两直线l₁、l₂与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）．
①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d₁、d₂，求

的最大值；
②若3

•

，求l₁与l₂的方程．

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已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为

，直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C的交点为A，B，求弦长|AB|．

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已知直线l与椭圆C：

=1交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两不同点，且△OPQ的面积S_△OPQ=

，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）证明x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S_△ODE=S_△ODG=S_△OEG=

？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．

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（理科）一动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若（1）中的轨迹上两动点记为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁x₂=-16．
①求证：直线AB过一定点，并求该定点坐标；
②求

|PA|

|PB|

的取值范围．

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（文科）一动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若（1）中的轨迹上两动点记为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁x₂=-16．
①求证：直线AB过一定点，并求该定点坐标；
②求|PA|+|PB|的取值范围．

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