在椭圆x216+y29=1内，有一内接三角形ABC，它的一边BC与长轴重合，点A在椭圆上运动，则△ABC的重心的轨迹方程为______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

在椭圆

=1内，有一内接三角形ABC，它的一边BC与长轴重合，点A在椭圆上运动，则△ABC的重心的轨迹方程为______．

答案

椭圆方程是

=1中，
∵a=4，∴B（-4，0），C（4，0），
设重心M（x，y），则由重心的坐标公式可得 A（3x，3y），
代入椭圆方程得

9x2

+y2=1，y≠0．
故答案为：

9x2

+y2=1，y≠0．

核心考点

试题【在椭圆x216+y29=1内，有一内接三角形ABC，它的一边BC与长轴重合，点A在椭圆上运动，则△ABC的重心的轨迹方程为______．】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

（1）已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，椭圆C上任意一点到椭圆两焦点的距离和为6．求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1的右支交于不同的两点A、B．求实数k的取值范围．

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已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为

，F₁，F₂为其焦点，一直线过点F₁与椭圆相交于A、B两点，且△F₂AB的最大面积为

，求椭圆的方程．

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若直线y=-x+m与曲线y=

只有一个公共点，则m的取值范围是（　　）

A．-1≤m＜2

B．-2

≤m≤2

C．-2≤m＜2或m=5

D．-2

≤m≤2

或m=5

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已知椭圆

=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，离心率为

，以线段F₁F₂为直径的圆的面积为π，设直线l过椭圆的右焦点F₂（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m，0），试求m的取值范围；
（3）求△ABF₁面积的取值范围．

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已知椭圆C1：

+y2=1和圆C2：x2+y2=1，左顶点和下顶点分别为A，B，且F是椭圆C₁的右焦点．
（1）若点P是曲线C₂上位于第二象限的一点，且△APF的面积为

，求证：AP⊥OP；
（2）点M和N分别是椭圆C₁和圆C₂上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，求证：直线MN恒过定点．

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