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题目
题型:不详难度:来源:
(本小题满分13分)
给定椭圆,称圆心在坐标原点,半径为的圆是椭圆的“伴随圆”. 若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为
(Ⅰ)求椭圆及其“伴随圆”的方程;
(Ⅱ)若过点的直线与椭圆C只有一个公共点,且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为,求的值;
(Ⅲ)过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线,使得与椭圆C都只有一个公共点,试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.
答案
解:(Ⅰ)由题意得:,半焦距       
椭圆C方程为                       
“伴随圆”方程为                             ……………3分
(Ⅱ)则设过点且与椭圆有一个交点的直线为:,         
整理得
所以,解①    ……………5分
又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为
则有化简得  ②      ……………7分
联立①②解得,
所以,则                   ……………8分
(Ⅲ)当都有斜率时,设点其中
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
消去得到  ……………9分
 
经过化简得到:,               ……………11分
因为,所以有
的斜率分别为,因为与椭圆都只有一个公共点,
所以满足方程
因而,即直线的斜率之积是为定值           ……………13分
解析

核心考点
试题【(本小题满分13分)给定椭圆,称圆心在坐标原点,半径为的圆是椭圆的“伴随圆”. 若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为.(Ⅰ)求椭圆及其“伴随圆”的方】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
有对称中心的曲线叫做有心曲线,过有心曲线中心的弦叫做有心曲线的直径。定理:如果圆上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的斜率存在,则这两条直线的斜率乘积为定值-1。写出该定理在有心曲线中的推广           。
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抛物线上一点到准线的距离为3,则点的横坐标为(  ▲  )
A.1B.2C.3D.4

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如果以原点为圆心的圆经过双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点,而且被该双曲线的右准线分成的弧长为2∶1的两段圆弧,那么该双曲线的离心率e等于
A.B.C.D.

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(本小题满分12分)
如图,已知在坐标平面xOy内,M、N是x轴上关于原点O对称的两点,P是上半平面内一点,△PMN的面积为,点A的坐标为(1+), =m· (m为常数),

(1)求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程;
(2)过点B(-1,0)的直线l交椭圆于C、D两点,交直线x=-4于点E,点B、E分的比分别为λ1、λ2,求λ1+λ2的值。
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若曲线C上的点到直线的距离比它到点F的距离大1,
(1)求曲线C的方程。
(2)过点F(1,0)作倾斜角为的直线交曲线C于A、B两点,求AB的长
(3)过点F(1,0)作斜率为k 的直线交曲线C于M、N 两点,求证:
 为定值
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