题目
题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)
已知椭圆:上的一动点到右焦点的最短距离为,且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 过点(,)的动直线交椭圆于、两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点,使得无论如何转动,以为直径的圆恒过定点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
,. 所以椭圆C的方程是. ………5分
(Ⅱ)解法一:假设存在点T(u, v). 若直线l的斜率存在,设其方程为,
将它代入椭圆方程,并整理,得
设点A、B的坐标分别为,则 ……7分
因为及
所以
……10分
当且仅当恒成立时,以AB为直径的圆恒过定点T,
所以解得
此时以AB为直径的圆恒过定点T(0,1). ……12分
当直线l的斜率不存在,l与y轴重合,以AB为直径的圆为也过点T(0,1).
综上可知,在坐标平面上存在一个定点T(0,1),满足条件. ……14分
解法二:若直线l与y轴重合,则以AB为直径的圆是
若直线l垂直于y轴,则以AB为直径的圆是
由解得.
由此可知所求点T如果存在,只能是(0,1). ……8分
事实上点T(0,1)就是所求的点. 证明如下:
当直线l的斜率不存在,即直线l与y轴重合时,以AB为直径的圆为,
过点T(0,1);当直线l的斜率存在,设直线方程为,代入椭圆方程,并整理,得
设点A、B的坐标为,则 ……11分
因为,
所以,即以AB为直径的圆恒过定点T(0,1). ……13分
综上可知,在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件. ……14分
解析
核心考点
试题【(本小题满分14分)已知椭圆:上的一动点到右焦点的最短距离为,且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 过点(,)的动直线交椭圆于、两】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆的方程及其“伴随圆”方程;
(2)若倾斜角为的直线与椭圆C只有一个公共点,且与椭圆的伴随圆相交于M、N两
点,求弦MN的长;
(3)点是椭圆的伴随圆上的一个动点,过点作直线,使得与椭圆都只有一个公共点,求证:⊥.
已知的顶点A在射线上,、两点关于x轴对称,0为坐标原点,
且线段AB上有一点M满足当点A在上移动时,记点M的轨迹为W.
(Ⅰ)求轨迹W的方程;
(Ⅱ)设是否存在过的直线与W相交于P,Q两点,使得若存在,
求出直线;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)求椭圆的谢方程
(Ⅱ)已知直线:与椭圆交于两点,求的面积
(Ⅲ)设为椭圆上一点,若,求点的坐标
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)当直线l经过点P(a,0)(a>0)且与x轴不垂直时,
若在x轴上存在点C,使得△ABC为等边三角形,求a
的取值范围.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)经过点(0, )且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围;
(Ⅲ)已知点M(),N(0, 1),在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数k,使得向量 与共线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
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