题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程及其椭圆的方程;
(Ⅱ)若动直线与轨迹在处的切线平行,且直线与椭圆交于两点,问:是否存在着这样的直线使得的面积等于?如果存在,请求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)设过圆心作直线直线的垂线,垂足为,由题意得,即动点到定点的距离与到定直线的距离相等.由抛物线的定义知,点的轨迹为以为焦点,直线为准线的抛物线,其方程为. ------3分
设椭圆方程为,将点代入方程得,
整理得,解得或(舍去).
故所求椭圆的方程为.------------------------6分
(Ⅱ)轨迹的方程为即,则,---------------7分
所以轨迹在处的切线的斜率为,故直线的斜率为, 假设符合题意的直线方程为. --------8分
代入椭圆方程化简得,设,,,,,-----------------9分
故,------------------------10分
又点到直线的距离是, --------------------11分
故-------------------13分
当且仅当,即取得等号(满足).--------------14分
此时的面积等于,
所以的面积等于的直线不存在.--------------15分
点评:求轨迹方程的一般方法:直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。本题求轨迹方程用到的是定义法。用定义法求轨迹方程的关键是条件的转化——转化成某一已知曲线的定义条件。
核心考点
试题【(本小题满分15分) 已知动圆过定点,且与直线相切,椭圆 的对称轴为坐标轴,一个焦点是,点在椭圆上.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程及其椭圆的方程;(Ⅱ)若动直线与】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
A.1 | B.-1 | C.1或-1 | D.1或-1或0 |
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