题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的两个焦点分别为，离心率。
（1）求椭圆方程；
（2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN中点的横坐标为–，求直线l倾斜角的取值范围。

答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）

解析

试题分析：（Ⅰ）设椭圆方程为
由已知，，由解得a=3，   
∴为所求 
（Ⅱ）解法一：设直线l的方程为y=kx+b(k≠0)
解方程组
将①代入②并化简，得 
       
将④代入③化简后，得。                           
解得   ∴ ， 所以倾斜角  。                            
解法二：（点差法）设的中点为在椭圆内，且直线l不与坐标轴平行。
因此，，
∵，
∴两式相减得 
即  
∴。所以倾斜角
点评：典型题，涉及直线与椭圆的位置关系问题，通过联立方程组得到一元二次方程，应用韦达定理可实现整体代换，简化解题过程。涉及椭圆上两点问题，可以利用“点差法”，建立连线的斜率与a,b的关系。