题目

题型：不详难度：来源：

如图，，是抛物线(为正常数)上的两个动点，直线AB与x轴交于点P，与y轴交于点Q，且

(Ⅰ)求证：直线AB过抛物线C的焦点；
(Ⅱ)是否存在直线AB，使得若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由。

答案

（1）先求解直线AB的方程，来分析过定点。（2）直线方程为

解析

试题分析：（Ⅰ）由题意知，直线的斜率存在，且不为零．
设直线的方程为： （，）
由，得．∴，  
∴． 
∵，∴，∵，∴．
∴直线的方程为：．
抛物线的焦点坐标为，∴直线过抛物线C的焦点．    
（Ⅱ）假设存在直线，使得, 即．
作轴，轴,垂足为、，
∴       
∵，        
∴==．
由，得．
故存在直线，使得．直线方程为．
点评：解决直线与抛物线的位置关系的运用问题，一般都要考查了抛物线的定义的运用，即抛物线上点到焦点的距离等于对其到准线的距离来解答，同时直线与抛物线的位置关系，也要结合设而不求的联立方程组的思想，结合韦达定理得到根与系数的关系，进而得到证明的结论，属于难度试题。