题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知直线与椭圆相交于两点，且坐标原点到直线的距离为，的大小是否为定值？若是求出该定值，不是说明理由.

答案

（Ⅰ）（Ⅱ）的大小为定值，且

解析

试题分析：（I）设椭圆方程为                        ……1分
因为
则
于是                                               ……4分
因为                             ……5分
故椭圆的方程为                                              ……6分
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由坐标原点到直线的距离为可知
,
∴,∴,                                            ……8分
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为, ,     ……9分
∵原点到直线的距离为,
∴，整理得（*）,                           ……10分
                        ……11分
,
将（*）式代入得,                      ……12分


,                     ……13分
∴ 
综上分析，的大小为定值，且.                          ……14分
点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系题目时，如果需要设直线方程，则不要漏掉直线斜率不存在的情况；联立直线方程与圆锥曲线方程后，不要忘记验证判别式大于零.