题目

题型：不详难度：来源：

（本小题共14分）
已知椭圆C：，左焦点，且离心率
(Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若直线与椭圆C交于不同的两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆C的右顶点A.   求证：直线过定点,并求出定点的坐标.

答案

(1) (2) 直线过定点，且定点的坐标为 

解析

试题分析：解：（Ⅰ）由题意可知：   ……1分
解得                  ………2分
所以椭圆的方程为：                         ……3分
（II）证明：由方程组   …4分

整理得                         ………..5分
设
则             …….6分
由已知，且椭圆的右顶点为         ………7分
                  ………    8分   

即
也即  …… 10分
整理得：                       ……11分
解得均满足                       ……12分
当时，直线的方程为，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……13分
当时，直线的方程为,过定点    
故直线过定点，且定点的坐标为                          …….14分
点评：解决的关键是熟练的根据椭圆的性质来得到椭圆的方程，同时能结合联立方程组的思想来，韦达定理和垂直关系，得到直线方程，进而求解。属于基础题。