题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知点R（－3,0）,点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上 ,且满足，.
（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设为轨迹C上两点，且，N(1,0)，求实数，使，且.

答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

解析

试题分析：(Ⅰ)设点M(x,y)，由得P(0，)，Q().
由得(3，)·(，)＝0,即
又点Q在x轴的正半轴上，故点M的轨迹C的方程是.……6分
（Ⅱ）解法一：由题意可知N为抛物线C:y²＝4x的焦点，且A、B为过焦点N的直线与抛物线C的两个交点。
当直线AB斜率不存在时，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|，不合题意；……7分
当直线AB斜率存在且不为0时，设，代入
得
则|AB|,解得          ………………10分
代入原方程得，由于，所以,
由，得 .             …………………12分
解法二：由题设条件得
  

由（6）、（7）解得或，又，故
点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一。本题主要考查利用“相关点法”求曲线的轨迹方程。相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x₀、y₀，然后代入点P的坐标（x₀，y₀）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法．