题目

题型：不详难度：来源：

已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、
轴上的动点，且满足．若点满足．
(Ⅰ)求点的轨迹的方程；
(Ⅱ)设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交
于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，
请说明理由．

答案

(Ⅰ) (Ⅱ)的值是定值，且定值为

解析

试题分析：(Ⅰ)椭圆右焦点的坐标为，   
．，
由，得．                        
设点的坐标为，由，有，
代入，得．                   
（Ⅱ）解法一：设直线的方程为，、，
则，．                         
由，得， 同理得．    
，，则．
由，得，．            
则．                   
因此，的值是定值，且定值为．                     
解法二：①当时， 、，则，  ．
由 得点的坐标为，则．
由 得点的坐标为，则．
．                    
②当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解
法一，得．                           
由，得，．       
则．                   
因此，的值是定值，且定值为．                   
点评：解决此类题目的关键是熟练掌握求轨迹方程的方法（消参法），以及设点利用点表示
有关的向量的表达式即可，此题对计算能力要求较高．