题目

题型：不详难度：来源：

我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知、是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（　　）
．            ．             ．            ．

答案

A

解析

试题分析：设F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c，由余弦定理4c²=m²+n²-mn，设a₁是椭圆的长半轴，a₁是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a₁，m-n=2a₁，由此能求出结果．解：设F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c，由余弦定理得（2c）²=m²+n²-2mncos60°，即4c²=m²+n²-mn，设a₁是椭圆的长半轴，a₁是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a₁，m-n=2a₁，∴m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得a₁²-4a₁a₂+a₁²=0， a₁=3a₂，e₁•e₂= 解得e₂=．故选A．
点评：本题考查双曲线和椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意正确理解“相关曲线”的概念．