题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆E的方程;
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A,B,过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M,N.
(ⅰ)当过A,F,N三点的圆半径最小时,求这个圆的方程;
(ⅱ)若,求△ABM的面积.
答案
(2) 12
解析
试题分析:(1)由离心率为,椭圆E上的点到点F距离的最小值为2,即a﹣c=2联立方程组求a,c的值,然后利用b2=a2﹣c2求出b2,则椭圆方程可求;
(2)(ⅰ)设出圆的一般方程,设N(8,t),把三点A(﹣4,0),F(2,0),N(8,t)代入圆的方程整理成标准式后利用基本不等式求出半径的最小值,同时求得半径最小时的圆的方程;
(ⅱ)设出直线l的方程,和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出M点的坐标,由,借助于向量数量积求出直线的斜率,进一步得到M点的纵坐标,则△ABM的面积可求.
(1)由已知,,且a﹣c=2,所以a=4,c=2,所以b2=a2﹣c2=12,
所以椭圆E的方程为.
(2)(ⅰ)由(1),A(﹣4,0),F(2,0),设N(8,t).
设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0,将点A,F,N的坐标代入,得
,解得.
所以圆的方程为,
即,
因为,当且仅当时,圆的半径最小,
故所求圆的方程为.
(ⅱ)由对称性不妨设直线l的方程为y=k(x+4)(k>0).
由,得(3+4k2)x2+32k2x+64k2﹣48=0
由﹣4+xM=,得,所以,
所以,,
所以==,
化简,得16k4﹣40k2﹣9=0,
解得,或,即,或,
此时总有yM=3,所以△ABM的面积为.
核心考点
试题【已知椭圆E:的离心率为,右焦点为F,且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2.(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A,B,过点A的直线l与椭圆E及】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若切线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,求证:k1•k2为定值.
(2)求证:直线PQ过定点.
A. | B. |
C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
A.(0,+∞) | B.(0,2) | C.(1,+∞) | D.(0,1) |
A. | B. | C. | D. |
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