题目

题型：不详难度：来源：

已知双曲线C：（a>0,b>0）的左、右焦点分别为、，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为.
（Ⅰ）求a,b；
（Ⅱ）设过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且，证明：、、成等比数列.

答案

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

解析

（Ⅰ）由题设知，即，故.
所以C的方程为.
将y=2代入上式，求得.
由题设知，，解得.
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，C的方程为.  ①
由题意可设的方程为，，代入①并化简得
.
设，，则
，，，.
于是
，

由得，即.
故，解得，从而.
由于，
.
故，
.
因而，所以、、成等比数列.
（1）利用待定系数法求解，利用已知条件建立含义的等量关系，进而确定曲线方程；(2)利用直线与曲线联立方程组，借助韦达定理和弦长公式将、、表示出来，然后借助证明等比中项。
【考点定位】本题考查双曲线方程与直线与双曲线的位置关系，考查舍而不求的思想以及计算能力.