题目

题型：不详难度：来源：

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

答案

（1）＝1（2）直线l不存在

解析

(1)依题意，可设椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．
从而有解得
又a²＝b²＋c²，所以b²＝12，故椭圆C的方程为＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l，由题知直线l的斜率与直线OA的斜率相等，故可设直线l的方程为y＝x＋t.由得3x²＋3tx＋t²－12＝0.
因为直线l与椭圆C有公共点，所以Δ＝(3t)²－4×3(t²－12)≥0，解得－4≤t≤4.
另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，可得＝4，从而t＝±2.由于±2∉[－4，4]，所以符合题意的直线l不存在