题目

题型：不详难度：来源：

已知直线l：y＝x＋，圆O：x²＋y²＝5，椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两条切线的斜率之积为定值．

答案

（1）＝1（2）两条切线的斜率之积为常数－1

解析

(1)设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离d＝＝，∴b＝＝，
由题意，得∴a²＝3，b²＝2.
∴椭圆E的方程为＝1.
(2)设点P(x₀，y₀)，过点P的椭圆E的切线l₀的方程为y－y₀＝k(x－x₀)，
联立直线l₀与椭圆E的方程，得
消去y，得(3＋2k²)x²＋4k(y₀－kx₀)x＋2(kx₀－y₀)²－6＝0，
∴Δ＝[4k(y₀－kx₀)]²－4(3＋2k²)[2(kx₀－y₀)²－6]＝0，整理，得(2－x)k²＋2kx₀y₀－(－3)＝0，设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k₁，k₂，
则k₁·k₂＝－.
∵点P在圆O上，∴＝5.
∴k₁·k₂＝－＝－1.
∴两条切线的斜率之积为常数－1