题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)，F₁(－c,0)，F₂(c,0)为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF₁|，|F₁F₂|，|MF₂|构成等差数列，点F₂(c,0)到直线l：x＝的距离为3.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，求出该圆的方程．

答案

（1）＝1（2）x²＋y²＝

解析

(1)由题知2|F₁F₂|＝|MF₁|＋|MF₂|，
即2×2c＝2a，得a＝2c.
又由－c＝3，解得c＝1，a＝2，b＝.
∴椭圆E的方程为＝1.
(2)假设以原点为圆心，r为半径的圆满足条件．
(ⅰ)若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y＝kx＋m，则r＝，r²＝，①
由消去y，整理得(3＋4k²)x²＋8kmx＋4(m²－3)＝0，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，有
又∵⊥，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0，
即4(1＋k²)(m²－3)－8k²m²＋3m²＋4k²m²＝0，化简得m²＝ (k²＋1)，②
由①②求得r²＝.
所求圆的方程为x²＋y²＝.
(ⅱ)若AB的斜率不存在，设A(x₁，y₁)，则B(x₁，－y₁)，∵⊥，∴·＝0，有－＝0，＝，代入＝1，得＝.此时仍有r²＝||＝.
综上，总存在以原点为圆心的圆x²＋y²＝满足题设条件