题目
题型:不详难度:来源:
(1)求的值;
(2)证明:圆与轴必有公共点;
(3)在坐标平面上是否存在定点,使得圆恒过点?若存在,求出的坐标;若不存在,说明理由.
答案
解析
试题分析:
(1)判断抛物线的焦点位置,得到焦点坐标,利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.
(2)直线与抛物线相切,联立直线与抛物线,判别式为0即可得到k,m之间的关系,可以用k来替代m,得到P点的坐标,抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标,利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标,计算中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系(点线距离小于或者等于半径,即相交或者相切).
(3)由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示),根据抛物线对称性知点在轴上,设点坐标为,则M点需满足,即向量内积为0,即可得到M点的坐标,M点的坐标如果为常数(不含k),即存在这样的定点,如若不然,则不存在.
试题解析:
(1)利用抛物线的定义得,故线段的中点的坐标为,代入方程得,解得。 2分
(2)由(1)得抛物线的方程为,从而抛物线的准线方程为 3分
由得方程,
由直线与抛物线相切,得 4分
且,从而,即, 5分
由,解得, 6分
∴的中点的坐标为
圆心到轴距离,
∵
所圆与轴总有公共点. 8分
(或 由, ,以线段为直径的方程为:
令得
,所圆与轴总有公共点). 9分
(3)假设平面内存在定点满足条件,由抛物线对称性知点在轴上,
设点坐标为, 10分
由(2)知,
∴ 。
由得,
所以,即或 13分
所以平面上存在定点,使得圆恒过点. 14分
证法二:由(2)知,,的中点的坐标为
所以圆的方程为 11分
整理得 12分
上式对任意均成立,
当且仅当,解得 13分
所以平面上存在定点,使得圆恒过点. 14分
核心考点
试题【设抛物线的焦点为,点,线段的中点在抛物线上. 设动直线与抛物线相切于点,且与抛物线的准线相交于点,以为直径的圆记为圆.(1)求的值;(2)证明:圆与轴必有公共点】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B1作直线交椭圆于P、Q两点,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积.
A. | B. | C. | D. |
(1)求椭圆E的方程;
(2)若过F1的直线l交椭圆于A,B两点,判断是否存在直线l使得∠AF2B为钝角,若存在,求出l的斜率k的取值范围.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为线段AB的中点,求k1;
(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求·的取值范围;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.
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