题目
题型:不详难度:来源:
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B1作直线交椭圆于P、Q两点,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积.
答案
解析
解:(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,则A(0,b),|OB1|=|OB2|=.
由=4得·c·b=4,
即bc=8.①
又△AB1B2是直角三角形,
且|OB1|=|OB2|,∴b=.②
由①②可得b=2,c=4.
∴a2=20.
∴椭圆的标准方程为+=1,离心率e==.
(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).
由题意知,直线PQ的倾斜角不为0,
故可设直线PQ的方程为x=my-2.
代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.(*)
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则y1,y2是方程(*)的两根.
∴y1+y2=,y1·y2=-.
又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).
∴·=(x1-2)(x2-2)+y1y2
=(my1-4)(my2-4)+y1y2
=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16
=--+16
=-.
由PB2⊥B2Q知·=0,
即-=0,
16m2-64=0,解得m=±2.
当m=2时,y1+y2=,y1y2=-,
|y1-y2|==.
=|B1B2|·|y1-y2|=.
当m=-2时,由椭圆的对称性可得=.
综上所述,△PB2Q的面积为.
核心考点
试题【如图所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为4的直角三】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(1)求椭圆E的方程;
(2)若过F1的直线l交椭圆于A,B两点,判断是否存在直线l使得∠AF2B为钝角,若存在,求出l的斜率k的取值范围.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为线段AB的中点,求k1;
(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求·的取值范围;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率;
(2)O为坐标原点,P是直线F1A上的一个动点,求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此时点P的坐标.
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