题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆E的方程;
(2)若过F1的直线l交椭圆于A,B两点,判断是否存在直线l使得∠AF2B为钝角,若存在,求出l的斜率k的取值范围.
答案
解析
解:(1)依题意
解得a2=4,b2=3,
∴椭圆的方程为+=1.
(2)①当过F1的直线AB的斜率不存在时,
不妨取A(-1,),B(-1,-)
则·=,显然∠AF2B不为钝角.
②直线l的斜率为k,l方程为y=k(x+1),
由
消去y,整理得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.
∵直线l与椭圆交于两点,
∴Δ=(8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12)=4×36(k2+1)>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1·x2=.
=(x1-1,y1),=(x2-1,y2).
∵∠AF2B为钝角,
∴·<0.
即(x1-1)(x2-1)+y1y2<0,
整理得(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1<0.
即(k2+1)·-(k2-1)·+k2+1<0,
整理得7k2<9,
解得-<k<.
∴存在满足条件的直线l,
其斜率k的取值范围为-<k<.
核心考点
试题【椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,过F1作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3.(1)求椭圆E的方程;(2)若过F】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为线段AB的中点,求k1;
(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求·的取值范围;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率;
(2)O为坐标原点,P是直线F1A上的一个动点,求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此时点P的坐标.
①设A、B为两个定点,k为非零常数,,则动点P的轨迹为双曲线;
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若则动点P的轨迹为椭圆;
③双曲线有相同的焦点;
④在平面内,到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线交椭圆于两点,当时求直线的方程
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