题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为线段AB的中点,求k1;
(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.
答案
解析
解:(1)依题设c=1,且右焦点F′(1,0).
所以2a=|EF|+|EF′|=+
=2,
b2=a2-c2=2,
故所求的椭圆的标准方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则+=1,①
+=1.②
②-①,得+=0.
所以k1==-=-=-.
(3)依题设,k1≠k2.
设M(xM,yM),
又直线AB的方程为y-1=k1(x-1),
即y=k1x+(1-k1),
亦即y=k1x+k2,
代入椭圆方程并化简得(2+3)x2+6k1k2x+3-6=0.
于是,xM=,yM=,
同理,xN=,yN=.
当k1k2≠0时,
直线MN的斜率k==
=.
直线MN的方程为y-=(x-),
即y=x+(·+),
亦即y=x-.
此时直线过定点(0,-).
当k1k2=0时,直线MN即为y轴,
此时亦过点(0,-).
综上,直线MN恒过定点,且坐标为(0,-).
核心考点
试题【已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E(1,).过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.(1)求椭圆的】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆C的方程;
(2)求·的取值范围;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率;
(2)O为坐标原点,P是直线F1A上的一个动点,求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此时点P的坐标.
①设A、B为两个定点,k为非零常数,,则动点P的轨迹为双曲线;
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若则动点P的轨迹为椭圆;
③双曲线有相同的焦点;
④在平面内,到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线交椭圆于两点,当时求直线的方程
A. | B. |
C. | D. |
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