题目

题型：不详难度：来源：

（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．

答案

（1）x²=4y
（2）当t=﹣时，|MN|的最小值是

解析

（I）由题意可设抛物线C的方程为x²=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x²=4y
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx+1
由消去y，整理得x²﹣4kx﹣4=0
所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=﹣4，从而有|x₁﹣x₂|==4
由解得点M的横坐标为x_M===，
同理可得点N的横坐标为x_N=
所以|MN|=|x_M﹣x_N|=|﹣|=8||=
令4k﹣3=t，t不为0，则k=
当t＞0时，|MN|=2＞2
当t＜0时，|MN|=2=2≥
综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是