题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线C的方程;
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一个圆上,求直线l的方程.
答案
解析
试题分析:(1)设Q(x0,4),代入由中得x0=,在根据抛物线的性质可得,解出p即可
(2)设直线l的方程为,(m≠0)代入中得,直线的方程为,将上式代入中,并整理得.A(x1,y1),B(x2,y2), M(x3,y3),N(x4,y4),根据二次函数根与系数的关系可得y1+y2=4m,y1y2=-4,.然后求出MN的中点为E和AB的中点为D坐标的表达式,计算的表达式,根据求出m即可.
试题解析:(1)设Q(x0,4),代入由中得x0=,
所以,由题设得,解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程为.
(2)依题意知直线l与坐标轴不垂直,故可设直线l的方程为,(m≠0)代入中得
,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4,
故AB的中点为D(2m2+1,2m),,
有直线的斜率为-m,所以直线的方程为,将上式代入中,并整理得
.
设M(x3,y3),N(x4,y4),则.
故MN的中点为E().
由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即,化简得
m2-1=0,解得m=1或m=-1,
所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
核心考点
试题【已知抛物线C:的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且.(1)求抛物线C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线与C】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.
(1)求曲线的方程;
(2)曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点,以为直径作圆,过点作圆的切线,切点为,试探究:当点在曲线上运动(点与原点不重合)时,线段的长度是否发生变化?证明你的结论.
B. C. D.
如图,已知抛物线,过点任作一直线与相交于两点,过点作轴的平行线与直线相交于点(为坐标原点).
(1)证明:动点在定直线上;
(2)作的任意一条切线(不含轴)与直线相交于点,与(1)中的定直线相交于点,证明:为定值,并求此定值.
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