题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线C: y=-x²+6, 点P（2, 4）、A、B在抛物线上, 且直线PA、PB的倾斜角互补.
(Ⅰ)证明:直线AB的斜率为定值;
(Ⅱ)当直线AB在y轴上的截距为正数时, 求△PAB面积的最大值及此时直线AB的方程.

答案

（1）k_AB=2.（2）方程为y=2x+.

解析

(Ⅰ)证: 易知点P在抛物线C上, 设PA的斜率为k, 则直线PA的方程是y-4=k(x-2).
代入y=-x²+6并整理得x²+2kx-4(k+1)=0此时方程应有根x_A及2,
由韦达定理得:
2x_A="-4(k+1)" , ∴x_A="-2(k+1)." ∴y_A=k(x_A-2)+4.=-k²-4k+4. ∴A(-2(k+1), -k²-4k+4).
由于PA与PB的倾斜角互补, 故PB的斜率为-k. 
同理可得B(-2(-k+1), -k²+4k+4)
∴k_AB="2."  
(Ⅱ) ∵AB的方程为y="2x+b," b>0.代入方程y=-x²+6消去y得x²+2x+b-6=0.
|AB|=2.  
∴S=|AB|d=·2
.
此时方程为y=2x+.